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全国初中数学竞赛辅导（初1）第15讲 奇数与偶数,
例4 设a，b是自然数，且满足关系式
(11111+a)(11111-b)=123456789．
求证：a-b是4的倍数．
证 由已知条件可得11111+a与11111-b均为奇数，所以a，b均为偶数．又由已知条件
11111(a-b)=ab+2468，①
ab是4的倍数，2468=4×617也是4的倍数，所以11111×(a-b)是4的倍数，故a-b是4的倍数.
例5 某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．
证 我们证明每一个学生的得分都是偶数．
设某个学生答对了a道题，答错了b道题，那么还有40-a-b道题没有答．于是此人的得分是
5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40，
这是一个偶数．
所以，不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．
例6 证明15块4×1的矩形骨牌和1块2×2的正方形骨牌不能盖住8×8的正方形.
证 将8×8正方形的小方格用黑、白色涂色(如图1－62)．每一块4×1骨牌不论怎么铺设都恰好盖住两个白格，因此15块4×1的骨牌能盖住偶数个白格．一块2×2的骨牌只能盖住一个白格或三个白格，总之能盖住奇数个白格．于是15块4×1骨牌和一块2×2骨牌在图上盖住的白格是奇数个．事实上图上的白格数恰为偶数个，故不能盖住8×8的正方形．
练习十五
1．设有101个自然数，记为a1，a2，…，a101．已知a1+2a2+3a3+…+100a100+101a101=s是偶数，求证：a1+a3+a5+…+a9９+a101是偶数．
2．设x1，x2，…，x1998都是+1或者-1．求证：
x1+2x2+3x3+…+1998x1998≠0．
3．设x1，x2，…，xn(n＞4)为1或-1，并且
x1x2x3x4+x2x3x4x5+…+xnx1x2x3=0．
求证：n是4的倍数．
4．(1)任意重排某一自然数的所有数字，求证：所得数与原数之和不等于99…9(共n个9，n是奇数)；
(2)重排某一数的所有数字，并把所得数与原数相加，求证：如果这个和等于1010，那么原数能被10整除．
5．(1)有n个整数，其和为零，其积为n．求证：n是4的倍数；
(2)设n是4的倍数，求证：可以找到n个整数，其积为n，其和为零．
6．7个杯子杯口朝下放在桌子上，每次翻转4个杯子(杯口朝下的翻为杯口朝上，杯口朝上的翻为杯口朝下)，问经过若干次这样的翻动，是否能把全部杯子翻成杯口朝上？
7．能否把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5这10个数排成一行，使得两个1中间夹着1个数，两个2之间夹着2个数，…，两个5之间夹着5个数？
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全国初中数学竞赛辅导（初1）第15讲 奇数与偶数
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发布日期：10-05 21:45:56 | 七年级数学教案