人教新课标数学七年级《平方差公式》教学设计之二

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平方差公式(二)
一、教学目标
(一)教学目标
1.了解平方差公式的几何背景.
2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.
3.体会符号运算对证明猜想的作用.
(二)能力目标
1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.
2.培养学生观察、归纳、概括等能力.
(三)情感目标
1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.
2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.
二、教学重难点
（一）教学重点
平方差公式的几何解释和广泛的应用.
（二）教学难点
准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.
三、教具准备
一块大正方形纸板，剪刀.
投影片四张
第一张：想一想，记作(§1.7.2 A)
第二张：例3，记作(§1.7.2 B)
第三张：例4，记作(§1.7.2 C)
第四张：补充练习，记作(§1.7.2 D)
四、教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.
这个正方形的面积是多少？
［生］a2.
［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？

图1－23
［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2).
［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.
(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)
［生］老师，我们拼出来啦.
［师］讲给大伙听一听.
［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).

图1－24
［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？
［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2.
［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.
［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.
［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.
［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.
Ⅱ.讲授新课
［师］出示投影片(§1.7.2 A)
想一想：
(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点
　　　　　
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
［生］(1)中算式算出来的结果如下
　　　　　
［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.
［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？
［生］我猜想是.我又找了几个例子如：
　　　　　
［师］你能用字母表示这一规律吗？
［生］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a－1,a+1,则有(a+1)(a－1)=a2－1.
［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.
［生］可是，我有一个疑问，a必须是一个自然数，还必须大于2吗？
(同学们惊讶，然后讨论)
［生］a可以代表任意一个数.
［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.
［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？

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