全国初中数学竞赛辅导（初1）第18讲 加法原理与乘法原理

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第十八讲 加法原理与乘法原理
　　加法原理和乘法原理是计数研究中最常用、也是最基本的两个原理．所谓计数，就是数数，把一些对象的具体数目数出来．当然，情况简单时可以一个一个地数．如果数目较大时，一个一个地数是不可行的，利用加法原理和乘法原理，可以帮助我们计数．
　　加法原理 完成一件工作有n种方式，用第1种方式完成有m1种方法，用第2种方式完成有m2种方法，…，用第n种方式完成有mn种方法，那么，完成这件工作总共有
m1+m2+…+mn
种方法．
　　例如，从A城到B城有三种交通工具：火车、汽车、飞机．坐火车每天有2个班次；坐汽车每天有3个班次；乘飞机每天只有1个班次，那么，从A城到B城的方法共有2+3+1=6种．
　　乘法原理 完成一件工作共需n个步骤：完成第1个步骤有m1种方法，完成第2个步骤有m2种方法，…，完成第n个步骤有mn种方法，那么，完成这一件工作共有
m1·m2·…·mn
种方法．
　　例如，从A城到B城中间必须经过C城，从A城到C城共有3条路线(设为a，b，c)，从C城到B城共有2条路线(设为m，t)，那么，从A城到B城共有3×2=6条路线，它们是：
am，at，bm，bt，cm，ct．
　　下面我们通过一些例子来说明这两个原理在计数中的应用．
　　例1 利用数字1，2，3，4，5共可组成
　　(1)多少个数字不重复的三位数？
　　(2)多少个数字不重复的三位偶数？
　　(3)多少个数字不重复的偶数？
　　解(1)百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择．所以共有
5×40×3=60
个数字不重复的三位数．
　　(2)先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有
2×4×3=24
个数字不重复的三位偶数．
　　(3)分为5种情况：
　　一位偶数，只有两个：2和4．
　　二位偶数，共有8个：12，32，42，52，14，24，34，54．
　　三位偶数由上述(2)中求得为24个．
　　四位偶数共有2×(4×3×2)=48个．括号外面的2表示个位数有2种选择(2或4)．
　　五位偶数共有2×(4×3×2×1)=48个．
　　由加法原理，偶数的个数共有
2+8+24+48+48=130．
　　例2 从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？
　　解法1 将符合要求的自然数分为以下三类：
　　(1)一位数，有1，2，4，5，6，7，8，9共8个．
　　(2)二位数，在十位上出现的数字有1，2，4，5，6，7，8，98种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0，共9种情形，故二位数有8×9=72个．
　　(3)三位数，在百位上出现的数字有1，2两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0，1，2，4，5，6，7，8，9九种情形，故三位数有
　　2×9×9=162个．
　　因此，从1到300的自然数中完全不含数字3的共有
　　8+72+162=242个．
　　解法2 将0到299的整数都看成三位数，其中数字3
　　不出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况．十位数字与个位数字均有九种，因此除去0共有
3×9×9-1=242(个)．
　　例3 在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？
　　解 不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0．使之成为四位数．
　　先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数的个数．由于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为
9×9×9×9＝6561，
　　其中包括了一个0000，它不是自然数，所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6560，于是，小于10000且含有数字1的自然数共有9999-6560=3439个．
　　例4 求正整数1400的正因数的个数．

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