全国初中数学竞赛辅导（初1）第13讲 从三角形内角和谈起

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　　因为BD是∠ABC的平分线，所以

　　又因为CD是∠ACE的平分线，所以

　　从而
　　　　　
　　　　　　　　
　　由①，②，③

　　即

　　所以

　
　　所以 　　　　　　　　　　　∠A=60°．
　　说明 解决本题的关键在于两条角平分线架起了△ABC与△BCD之间的桥梁，完成了从已知向未知的过渡．细心审题，发现已知与所求之间的联系，常是解题的重要前提．
　　例4 如图1-41所示．∠A=10°，∠ABC=90°，
　　∠ACB=∠DCE，∠ADC=∠EDF，∠CED=∠FEG．求∠F的度数． 

　　分析 如果我们能注意到所给的一系列等角条件正反映了内角与外角的关系，问题就不难解决．例如在∠ACB=∠DCE中，∠ACB是△ABC的一个内角，∠DCE是△ACD的外角．∠ADC=∠EDF及∠CED=∠FEG两个等式两边的角也是类似情况，这就为我们利用外角定理解题创造了机会．
　　解 在△ABC中，∠A=10°，∠ABC=90°，所以∠ACB＝80°．因为
∠DCE=∠ACB=80°，
　　在△ACD中，∠DCE是它的一个外角，所以
∠DCE=∠A+∠ADC，
80°=10°+∠ADC，
　　所以
∠ADC=70°，∠EDF=∠ADC=70°．
　　在△ADE中，∠EDF是它的一个外角，所以
∠EDF=∠A+∠AED，
70°=10°+∠AED，
　　所以
∠AED=60°，∠FEG=∠AED=60°．
　　在△AEF中，∠FEG是它的一个外角，所以
∠FEG=∠A+∠F，
　　所以
∠F=∠FEG-∠A=60°-10°=50°．
　　例5 如图1－42所示．△ABC的边BA延长线与外角∠ACE的平分线交于D．求证：∠BAC＞∠B．

　　分析 三角形的外角定理的意义中已暗含着“三角形的外角大于三角形中与此外角不相邻的内角”的意义．证明有关三角形角的不等问题可从此下手．
　　证 ∠BAC是△ACD的一个外角，因为∠BAC=∠1+∠D，所以2∠BAC=2∠1+2∠D=∠ACE+2∠D＞∠ACE①(因为CD是∠ACE的平分线)．又∠ACE是△ABC的一个外角，所以
∠ACE=∠B+∠BAC． ②
　　由②，③
2∠BAC＞∠B+∠BAC，
　　所以 ∠BAC＞∠B．
　　由于多边形可以分割为若干个三角形，因而多边形的内角和可以转化为三角形内角和来计算．下面我们来求n(n≥3的自然数)边形的内角和．
　　例6 n边形的内角和等于(n-2)·180°．
　　分析 我们不妨先从具体情况入手．
　　当n=4时，如图1－43所示．四边形ABCD用一条对角线可以分割成两个三角形，因此

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www.yf1234.com 　　　　　　　四边形ABCD的内角和=三角形ABC的内角和+三角形ACD的内角和
　　　　　　　=2×180°=360°．

　
　　当n=5时，如图1－44所示．五边形ABCDE用两条对角线可以分割为三个三角形．类似于n=4的情况，可证明：五边形ABCDE的内角和=3×180°=540°．
　　由这两个具体实例，我们可以找到n边形的内角和的证明方法．
　　证 在n边形A1A2A3…An中，以A1为一个端点，连接对角线A1A3，A1A4，…，A1An-1，共有(n-1)-3+1=n-3条对角线，将这个n边形分割成n-2个三角形．显然，这n-2个三角形的内角“合并”起来恰是这个n边形的n个内角，如图1-45所示．所以
n边形的内角和=(n-2)×180°．

　　说明(1)从具体的简单的问题入手常能找到解决复杂问题的思路．如本题从n=4，5入手，找到将多边形分割为三角形的方法(这是一个本质的方法)，从而可以推广到n为任意自然数的范围中去．
　　(2)各条边都相等，各个内角都相等的多边形称为正多边形．由本例自然可以推出正n边形每一个内角的大小．
　　设正n边形的一个内角大小为a，则

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