已知 其中 都是常数, 是非负变量,求 的最大值或最小值,这里 是常量。
前面我们计论了两个变量的线性规划问题,这类问题可以用图解法来求最优解,涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法求解。比如线性不等式 不能用图形来表示它,那么对四元线性规划问题就不能用图形来求解了,对这样的线性规划问题怎样求解,同学们今后在大学学习中会得到解决。
线性规划在实际中的应用
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务,常见问题有:
1.物调运问题
例如,已知 两煤矿每年的产量,煤需经 两个车站运往外地, 两个车站的运输能力是有限的,且已知 两煤矿运往 两个车站的运输价格,煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最小?
2.产品安排问题
例如,某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量,此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的,这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产,能使每月获得的总利润最大?
3.下料问题
例如,要把一批长钢管截成两种规格的钢管,应怎样下料能使损耗最小?
4.研究一个例子
下面的问题,能否用线性规划求解?如能,请同学们解出来。
某家具厂有方木料 ,五合板 ,准备加工成书桌和书橱出售,已知生产每张书桌需要方木料 、五合板 ,生产每个书橱需要方木料 、五合板 ,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元,如果只安排生产书桌,可获利润多少?如何只安排生产书橱,可获利润多少?怎样安排生产时可使所得利润最大?
A.教师指导同学们逐步解答:
(1)先将已知数据列成下表
(2)设生产书桌x张,生产书橱y张,获利润为z元。
分析:显然这是一个二元线性问题,可归结于线性规划问题,并可用图解法求解。
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(3)目标函数
①在第一个问题中,即只生产书桌,则 ,约束条件为
∴ 最多生产300张书桌,获利润 元
这样安排生产,五合板先用光,方木料只用了 ,还有 没派上用场。
②在第二个问题中,即只生产书橱,则 ,约束条件是
∴ 最多生产600张书橱,获利润 元
这样安排生产,五合板也全用光,方木料用去了 ,仍有 没派上用场,获利润比只生产书桌多了48000元。
③在第三个问题中,即怎样安排生产,可获利润最大?
,约束条件为
对此,我们用图解法求解,
先作出可行域,如图阴影部分。
时得直线 与 平行的直线 过可行域内的点M(0,600)。因为与
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