人教版数学八年级《测量旗杆的高度教案》教学设计

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测量旗杆的高度

［目标·概览］
　　通过测量旗杆的高度，能够综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．
［思考·交流］
　　古埃及金字塔到底有多高?
　　据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯(Thales，约前625-前547)曾利用相似三角形的原理，测出了金字塔的高度，其所用方法是：在金字塔顶部的影子处立一根杆子，借助太阳光线构成两个相似三角形，塔高与杆高之比等于两者影长之比，由此便可算出金字塔的高度.
　　除上述方法外，还有哪些测量物体高度的方法?
［学法·指津］
　　利用相似三角形的知识测高望远，方法上是构造一对相似三角形，把实际问题转化为相似问题，建立数学模型，做到学以致用，并且在分组合作活动中，进一步积累数学活动经验，体验成功的快乐，增强学习数学的自信心．在预习中要先设计好一套测量方案，再进行实际测量．
［知识·导学］
　　知识点一：测量物体高度的方法与原理(一)
　　方法：利用阳光下的影子. 测量示意图：如图4-7-1所示.
　　测量原理：因为阳光BC∥AE，
　　所以∠CBD=∠E.
　　因为∠D=∠ABE=90°，
　　所以△ABE∽△CDB，所以..
　　测量数据：身高AB、身影BE、物影BD.
　　思考交流：大阳光是平行光线吗?因为太阳离地球非常遥远，而且太阳的体积比地球大得多，所以可以把大阳光近似地看成平行线.
　　知识点二：测量物体高度的方法与原理(二)
　　方法：利用标杆.
　　测量示意图：如图4-7-2所示.
　　测量原理：因为CD∥AB，
　　所以∠FHD＝∠FGA，∠FDH=∠A，
　　所以△AGF∽△DHF.
　　所以.
　　所以AB＝AG+EF．
　　其中，EC＝FH，BE＝FG．
　　测量数据：眼与地面的距离EF、人与标杆的距离EC、人与物体的距离BE.
　　思考交流：使用这种方法，必须保证：观测者的眼睛、标杆顶端、物体的顶端“三点共线”、标杆与地面要垂直.
　　知识点三：测量物体高度的方法与原理(三)
　　方法：利用镜子的反射．
　　测量示意图：如图4—7—3所示．
　　测量原理：因为∠ACB＝∠ECD，∠B=∠D=90°，
　　所以△ABE∽△EDC.
　　从而.
　　测量数据：眼部到地面的距离DE、人与平面镜的距离CD、平面镜与物体的距离BC.
　　思考交流：为什么∠ACB＝∠ECD呢?这是利用了物理学中，光线的“入射角等于反射角”.
［技巧·解悟］
　　［例1］　某同学要测量校园内一根旗杆的高度，他在某一时刻测得1 m长的竹竿竖直放置时影长为1．5 m．在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为21 m，留在墙上的影高为2 m(如图4-7-4). 求旗杆的高度．
　　解析　本题具有新意，注重考查理解能力和知识迁移能力.解答这类题一般要正确画示意图，使其抽象为数学知识．
　　答案　如图4—7—5，延长BE、AD相交于点C，则CE为2.
　　根据太阳光线平行照射原理可得
　　△CAB∽△RPQ∽△CDE.
　　所以，所以.
　　又，所以，EC=3.
　　而BC＝BE+EC=21+3＝24，
　　所以 .
　　所以AB＝16 m.
　　所以旗杆的高度为16 m.
［拓展·探究］
综　合　题
　　［例2］ 已知一条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5 m有一棵树，在河的对岸，每隔50 m有一根电线杆．在这岸离开岸边25 m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河宽．
　　解析　解答本题的关键是理解题意，构建数学模型，画出示意图，抓住题中的信息：BC∥DE. 利用相似三角形的知识，使问题得以解决.

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