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让教学设计更符合学生的认知,
对形式的理解，首先是对本质的理解。很多时候要追溯到形式、概念的定义，以及定义的必要性和合理性。
案例4、反函数的表示法。
教材中写道“在函数x=f
—1（y）中，y表示自变量，x表示函数。但在习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f
—1（y）中的字母x、y，把它改写成y=f
—1（x）” 。为什么要把x=f
—1（y）改写成y=f
—1（x）？仅仅是因为“习惯”的原因？学生感到困惑，教师解释时感到理由不够充分。
我想，这要从反函数的定义以及作用来理解，x=f
—1（y）与y=f（x）中，x的取值是相同的，y的取值也是相同的，因此在同一坐标系中的图象是相同的，但表示的意义是不同的，因为自变量与函数的地位已经互换。为了使x=f
—1（y）与y=f（x）在同一坐标系中有相同地位的量在同一坐标轴上，便于研究它们的相互关系，才“对调函数x=f
—1（y）中的字母x、y，把它改写成y=f
—1（x）”，这样一来，x轴就是自变量轴，y轴就是函数轴。我们可以把这一理解，设计成提问或问题进行交流，在“数学学习的共同体”中，使学生对数学形式和数学本质有一个“个体创造性的理解”的过程。通过学生自身主动的建构，使新的学习材料在学生头脑中获得特定的意义，这就是在新的数学材料与学生已有的数学知识和经验之间建立实质性的、非任意的联系，不断完善学生个体的认知结构。
五、借助几何意义动态化
对数学对象的认识是以头脑中实际建构出这种对象为必要前提的，这种“建构”活动并非简单地理解为如何在头脑中机械地去重复有关对象的形式定义，而是必然包含有一个“具体化”（相对而言）的过程，也即如何把新的数学概念与已有的数学知识和经验联系起来，使之成为对学习主体而言是有意义的、可以理解的、十分直观明了的，也即建立起适当的“心理表征”或“心理意义”。
案例5：奇偶性与周期性的应用
已知函数y=f（x）是最小正周期为2的偶函数，当x∈（0，1）时，f（x）=-lg
3|x|+2，求：当x∈（1，2）时，f（x）的解析式。
这一类题目的解答通常是：∵当x∈（0，1）时，f（x）=-lg
3|x|+2，∴当-1＜x＜0时，0＜-x＜1，又∵y=f（x）是偶函数，∴f（x）= f（-x）=-lg
3|-x|+2=-lg
3|x|+2，当1＜x＜2时，-1＜x-2＜0，又∵y=f（x）是最小正周期为2的函数，∴f（x）= f（x-2）=-lg
3|x-2|+2。
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