北师大版数学九年级《直角三角形》教学设计之三

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=56.5×tan22°
≈22.8(m)
所以CD＝AB-AF
＝28.1(m)
答：两幢建筑物的高度分别为50.9m，28.1m．

例5　如图19—50，沿水库拦水坝的背水坡，将坝顶加宽2m，坡度由原来的1：2改为1：2．5，已知坝高6m，坝长50m求：
(1)加宽部分横断面AFEB的面积；
(2)完成这一工程需要多少土方?

思路与技巧　只须求出梯形AFEB的下底EB的长，作AG⊥BC，FH⊥EB，垂足分别为G、H，根据坡度的意义，可以求出坡AB、坡EF的水平长度．
解答　(1)作AG⊥BC，FH⊥EB，垂足分别为G、H，由题意得
HG＝AF＝2(m)．AG＝FH＝6(m)
在Rt△ABG中，因为

所以BG＝2×6＝12(m)
在Rt△FEH中，因为

所以EH＝2．5×6＝15(m)
所以EB＝EH+HG-BG＝15+2-12＝5(m)
所以

答：加宽部分横断面AFEB的面积为，完成这一工程需要1050方土．

例6　海上有两条船，甲船在乙船的正南方向，甲船以每小时40海里的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿正东方向以每小时20海里的速度航行，问两船会不会相撞?为什么?
思路与技巧　根据题意画出图形，如图19—51，可知甲、乙两船的路线可能会成为直角三角形中60°所对的直角边和斜边，两船同时出发，在相同的时间内所走路程的比如果正好等于60°的正弦就会相撞，否则不会．

解答　如图19—51，因为乙船的速度为每小时20海里，甲船的速度为每小时40海里，所以乙船与甲船所走路程的比为1：2．
又
所以不会发生相撞．

例7　某市为改变城市交通状况，在大街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB．在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3m远的D点测得树的顶部A点的仰角为60°，树的底部B的仰角为30°，如图19—52，问距离B点8m远的保护物是否在危险区内?

思路与技巧　本题的实质是要计算大树的高度，如果大于8m，说明保护物在危险区内，否则不在．由于大树不在哪一个直角三角形中，根据条件，过C作CE⊥AB，则可把AB放在Rt△ACE和Rt△BCE中进行求解．
解答　过C作CE⊥AB，垂足为E.
由题意可知，CE＝DB＝3m
在Rt△CEB中，

在Rt△ACE中，

所以AB＝AE+BE＝5.196+1.732＝6.928(m)＜8(m)
所以距离B点8m远的保护物不在危险区域内．

【探究活动】
提出问题　运用解直角三角形的知识可以解斜三角形(锐角三角形或钝角三角形)吗?
探究准备　锐角△ABC(已知b，a和∠C)．钝角△ABC(已知∠A，c，∠B)(∠A，∠B，∠C的对边为a，b，c)如图19—53．

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探究过程　直角三角形中的边边关系、角角关系、边角关系是解直角三角形的依据，它们只有在直角三角形中才成立，因此要想用它们来解斜三角形，必须把斜三角形转化为直角三角形，转化的方法一般是作高，如图19—53甲可以作AD⊥BC于D，这样构造了两个直
角三角形Rt△ABD和Rt△ACD，Rt△ACD中，CD＝cos∠C，AD＝sin∠C，因为BC＝a，所以BD＝-cos∠C，在Rt△ABD中，，得出∠B，进而求出∠A＝180°-∠B-∠C，
同样方法，图19—53乙中，可以过C作CD⊥AB于D，先解Rt△ACD．再解Rt△CDB．
探究评析　“化斜为直”是运用解直角三角形的知识解斜三角形的根本方法，其做法是通过作斜三角形的一条高，把斜三角形化为两个直角三角形，再根据条件分别在两个直角三角形中做文章．

例8　如图19—54，公路上A、B两处相距lkm，测得城镇C在A处的北偏东35°方向，在B处的北偏西40°方向．求城镇C到A处、B处的距离分别是多少?

思路与技巧　弄清楚两个方向角是解决问题的第一步，根据题意∠1＝35°，∠2＝40°,AB＝lkm，发现△ABC不是直角三角形，故通过“化斜为直”转化，作CD⊥AB于D，如图19—55，则∠ACD＝∠l＝35°，∠BCD＝∠2＝40°，但是Rt△ACD与Rt△BCD都无法直接求解，因而可利用CD是这两个直角三角形的公共边以及AD+DB＝AB＝lkm的条件，设法列方程求解．

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