北师大版数学九年级《直角三角形》教学设计之三

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直角三角形
【探究目标】
1．目的与要求　能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．
2．知识与技能　能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形，能运用解直角三角形的知识解决有关的实际问题．
3．情感、态度与价值观　通过解直角三角形的应用，培养学生学数学、用数学的意识和能力，激励学生多接触社会、了解生活并熟悉一些生产和生活中的实际事物．

【探究指导】
教学宫殿
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图19—46：

角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B＝90°；
边边关系：勾股定理，即；
边角关系：锐角三角函数，即

解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：

把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，如没有特殊要求外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′．

例1　在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形．
(1)c＝10，∠B＝45°，求a，b，∠A；
(2)，求c，∠A，∠B
思路与技巧　求解直角三角形的方法多种多样，如(1)可以先求a或b，也可以先求∠A，依据都是直角三角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一般尽量选择正、余弦，尽量使用乘法，尽量选用含有已知量的关系式，尽量避免使用中间数据．
解答　(1)∠A＝90°-45°＝45°


(2)
所以


例2　如图19—47，CD是Rt△ABC斜边上的高，，,求AC，AB，∠A，∠B(精确到1′)．

思路与技巧　在Rt△ABC中，仅已知一条直角边BC的长，不能直接求解．注意到BC和CD在同一个Rt△BCD中，因此可先解这个直角三角形． 
解答　在Rt△BCD中


用计算器求得　∠B＝54°44′
于是∠A＝90°-∠B＝35°16′
在Rt△ABC中，


例3　气象台测得台风中心在某港口A的正东方向400km处，正在向正西北方向转移，距台风中心300km的范围内将受其影响，问港口A是否会受到这次台风的影响?
思路与技巧　如图19—48，就是要求出A到台风移动路线BC的距离是否大于300km，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB＝400km，是AC可求．

解答　在Rt△ABC中，
由于
所以AC＝AB·sin∠ABC＝400×sin45°

所以港口A将受到这次台风的影响．

例4　如图19—49，两幢建筑物的水平距离为56．5m，从较高的建筑物的顶部看较低的建筑物的底部的俯角是42°，从较低的建筑物的顶部看较高建筑物顶部的仰角是22°，求这两幢建筑物的高度(精确到0．1m)．

思路与技巧　如图19—49，AB、CD表示两幢建筑物，AB⊥BD，CD⊥BD，BD＝56．5m，根据俯角、仰角的意义，∠DAE＝42°，∠ACF＝22°，于是Rt△ABD、Rt△ACF都可解．
解答　在Rt△ABD中，
∠ADB＝∠DAE＝42°
BD＝56.5(m)
AB＝BD·tan∠ADB
＝56.5×tan42°
≈50.9(m)
在Rt△ACF中，
AF＝CF·tan∠ACF

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